Bài 15: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chuẩn chỉnh:

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên đều là hình chữ nhật.

Ta có: $\begin{cases} A'A \perp AB \\ A'A \perp AD \end{cases}$ (do $ABB'A'$ và $ADD'A'$ là hình chữ nhật).

Mà $AB, AD \subset (ABCD)$ và $AB \cap AD = A$.

$\implies A'A \perp (ABCD)$. Tương tự $A'A \perp (A'B'C'D')$. Đáp án đúng là A.

Lời giải chuẩn chỉnh:

• Bước 1: $SD \cap (ABCD) = D \implies D$ là Đỉnh của góc.

• Bước 2: Do $SA \perp (ABCD)$ nên $A$ chính là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD) \implies A$ là Chân hình chiếu.

• Bước 3: Nối Đỉnh $D$ với Chân $A$, hình chiếu của $SD$ trên đáy là đoạn thẳng $AD$.

$\implies (SD, (ABCD)) = (SD, AD) = \widehat{SDA}$. Đáp án đúng là A.

Lời giải chuẩn chỉnh:

Ta chứng minh $BC \perp (SAB)$:

1. $BC \perp AB$ (vì đáy $ABCD$ là hình vuông).

2. $SA \perp (ABCD) \implies SA \perp BC$ (vì $BC \subset (ABCD)$).

3. Trong mặt phẳng $(SAB)$, hai đường thẳng $AB$ và $SA$ cắt nhau tại điểm $A$.

$\implies BC \perp (SAB)$. Từ đó suy ra tam giác $\Delta SBC$ vuông tại $B$!

Lời giải chuẩn chỉnh:

• Hình chiếu của $SC$ lên đáy $(ABCD)$ là $AC \implies (SC, (ABCD)) = \widehat{SCA}$.

• Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a \implies AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}$.

• Tam giác $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $SA = a\sqrt{2}$ và $AC = a\sqrt{2}$.

$\implies \tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \implies \widehat{SCA} = 45^\circ$.

Đáp số: Góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng $45^\circ$.