Bài 9: Tính chất chia hết của một tổng
Dùng định nghĩa phép chia hết để giải thích khi nào tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho cùng một số.
🎯 Mục tiêu bài học
Sau bài học, em có thể:
- Diễn đạt được ý nghĩa d chia hết cho a bằng phép nhân.
- Sử dụng tính chất: nếu hai số cùng chia hết cho d thì tổng và hiệu không âm của chúng cũng chia hết cho d.
- Nêu được phản ví dụ cho mệnh đề đảo không đúng.
Ôn nhanh: 3 có chia hết 12 không? Hãy viết 12 thành tích có một thừa số là 3.
Tự kiểm tra câu trả lời
Có, vì 12 = 3 × 4.
1. Định nghĩa phép chia hết
Với a là số tự nhiên và d là số tự nhiên dương, d | a nghĩa là tồn tại số tự nhiên k sao cho a = d × k. Ví dụ 5 | 20 vì 20 = 5 × 4.
Nếu viết được mỗi số hạng thành một bội của cùng một số d, ta có thể nhóm d ra ngoài tổng.
Ví dụ 1: Cộng hai số cùng chia hết cho 6
- 18 = 6 × 3 và 30 = 6 × 5, nên cả 18 và 30 đều chia hết cho 6.
- 18 + 30 = 6 × 3 + 6 × 5 = 6 × (3 + 5).
- Vì 3 + 5 = 8 là số tự nhiên, tổng bằng 6 × 8 = 48 và chia hết cho 6.
2. Tổng và hiệu của các số cùng chia hết cho d
Nếu d | a và d | b thì d | (a + b). Nếu a ≥ b thì d | (a − b) nữa.
Giải thích: viết a = d × m và b = d × n. Khi đó a + b = d × (m + n). Nếu a ≥ b thì m ≥ n, nên a − b = d × (m − n). Cả m + n và m − n (trong điều kiện này) đều là số tự nhiên.
Ví dụ 2: Xét tổng và hiệu
Vì 4 | 20 và 4 | 12 nên 20 + 12 = 32 chia hết cho 4; đồng thời 20 − 12 = 8 cũng chia hết cho 4.
Không đảo chiều tùy tiện: Tổng chia hết cho d không có nghĩa từng số hạng đều chia hết cho d. Chẳng hạn 4 + 5 = 9 chia hết cho 3, nhưng 4 và 5 đều không chia hết cho 3.
Thử làm có gợi ý: Nếu 7 | 21 và 7 | 14 thì 21 − 14 có chia hết cho 7 không?
Có. 21 − 14 = 7 = 7 × 1.
3. Tự luyện và xem giải thích
Chọn một đáp án ở mỗi câu rồi nhấn “Kiểm tra”. Phản hồi giải thích cách làm và em có thể đổi đáp án để thử lại.
4. Ghi nhớ
- d | a nghĩa là a = d × k với một số tự nhiên k.
- Nếu d | a và d | b thì d | (a + b); nếu a ≥ b thì d | (a − b).
- Tổng chia hết cho d không tự nó chứng minh từng số hạng đều chia hết cho d.
Tự kiểm tra: Biết 9 | 27 và 9 | 18. Hãy cho biết 27 + 18 và 27 − 18 có chia hết cho 9 không, rồi chứng minh bằng phép nhân.
Đối chiếu đáp án
27 + 18 = 45 = 9 × 5; 27 − 18 = 9 = 9 × 1. Cả tổng và hiệu đều chia hết cho 9.